弾性体のすべての点の全変位場
μμ
は、ボディの剛体運動を定義する局所フレームの変位と、ボディの小振動に対応する追加の局所変位場
wLwL
から得られます。
(
G0G0
、
G1G1
、
G2G2
および
G3G3
)は、全体フレーム(
e1e1
、
e2e2
および
e3e3
を定義します。
(
L0L0
、
L1L1
、
L2L2
および
L3L3
)は、直交局所フレームを定義します。
PP
は、(
G0G0
、
G1G1
、
G2G2
および
G3G3
)から(
L0L0
、
L1L1
、
L2L2
および
L3L3
)への回転マトリックスです。
よって、全変位
uu
は次のように表現できます:
(1)
u=X⋅uL1+Y⋅uL2+Z⋅uL3+(1−X−Y−Z)⋅uL0+PwL=uR+PwLu=X⋅uL1+Y⋅uL2+Z⋅uL3+(1−X−Y−Z)⋅uL0+PwL=uR+PwL
ここで、
uL0uL0
、
uL1uL1
、
uL2uL2
、
uL3uL3
はそれぞれ点
L0L0
、
L1L1
、
L2L2
、
L3L3
の変位です。
XX
、
YY
、
ZZ
は、局所フレーム(
L0L0
、
L1L1
、
L2L2
、
L3L3
)での座標です。
uRuR
は、全変位に対する剛体の影響度です。
局所変位は、局所振動モード
ΦiLΦiL
の結合によって次のように与えられます:
(2)
wL=ΦLαwL=ΦLα
ここで、
αα
は局所モードの影響度を示すベクトルです。
剛体の変位
uRuR
は、12種類のモードの結合としても表現できます:
(3)
uR=ΦR⋅(u1L1,u2L1,u3L1,u1L2,u2L2,u3L2,u1L3,u2L3,u3L3,u1L0,u2L0,u3L0)TuR=ΦR⋅(u1L1,u2L1,u3L1,u1L2,u2L2,u3L2,u1L3,u2L3,u3L3,u1L0,u2L0,u3L0)T
ここで、投影モード
ΦiRΦiR
は局所座標から得られます:
(4)
Φ1R=X⋅e1Φ2R=X⋅e2Φ3R=X⋅e3Φ4R=Y⋅e1Φ5R=Y⋅e2Φ6R=Y⋅e3Φ7R=Z⋅e1Φ8R=Z⋅e2Φ9R=Z⋅e3Φ10R=(1−X−Y−Z)⋅e1Φ11R=(1−X−Y−Z)⋅e2Φ12R=(1−X−Y−Z)⋅e3
局所フレーム(
L0
、
L1
、
L2
、
L3
)は全面的に任意に選択できます。これらの点は明示的に入力する必要がありません。これらの位置によって局所座標が決まり、それによってモード
ΦiR
の成分が定義されます。
回転自由度を設定した要素が弾性体に存在している場合は、さらに3つのモードを
ΦiR
ファミリーに追加して、これらの自由度に伴う慣性を考慮する必要があります。回転自由度を設定した弾性体の各節点におけるこれらの追加モードの成分は以下のとおりです:
(5)
Φ13R=[000100] Φ14R=[000010] Φ15R=[000001]