# Drücker-Prager Constitutive Model (LAWS 10, 21 and 81)

## Drücker-Prager (LAW10 and LAW21)

For materials, like soils and rocks, the frictional and dilatational effects are significant. In these materials, the plastic behavior depends on the pressure as the internal friction is proportional to the normal force.

Furthermore, for frictional materials, associative plasticity laws, in which the plastic flow is normal to the yield surface, are often inappropriate. Drücker-Prager 1 yield criterion uses a modified von Mises yield criteria to incorporate the effects of pressure for massive structures:(1) $F={J}_{2}-\left({A}_{0}+{A}_{1}P+{A}_{2}{P}^{2}\right)$
Where,
${J}_{2}$
Second invariant of deviatoric stress ${J}_{2}=\frac{1}{2}{s}_{ij}{s}_{ij}$
$P$
Pressure
${A}_{0}$, ${A}_{1}$, ${A}_{2}$
Material coefficients

For LAW10 pressure evaluation for EOS is described with /EOS/COMPATION.

The pressure in the material is determined in function of volumetric strain for loading phase:(2) $P=f\left(\mu \right)$

for loading $d\mu >0$

Where, $f$ is a user-defined (LAW21) or a cubic polynomial function (LAW10). For unloading phase, if the volumetric strain has a negative value, a linear relation is defined as:(3) $P={C}_{1}\mu$

for unloading $d\mu <0$ and $\mu <0$

For unloading with a positive volumetric strain, another linear function may be used:(4) $P=B\mu$

for unloading $d\mu <0$ and$\mu >0$

In Radioss extended Drücker-Prager model is used in LAW10 and LAW21. Neither of these laws can reproduce the mono-dimensional behavior. In addition, no viscous effect is taken into account.

## キャップを持つDrücker-Prager構成モデル（LAW81）

### 降伏曲面

Drücker-Pragerの降伏曲面は次のとおりです。(5) $F=q-{\mathrm{r}}_{c}\left(p\right)\cdot \left(p\mathrm{tan}\beta +c\right)=0$
この材料則で${p}_{a}によって考慮するキャップ硬化は次のように記述できます。(6) ${\mathrm{r}}_{c}\left(p\right)=\sqrt{1-{\left(\frac{p-{p}_{a}}{{p}_{b}-{p}_{a}}\right)}^{2}}$

ここで、
$q$
フォンミーゼス応力
${q}^{2}=3{J}_{2}=\frac{3}{2}{s}_{ij}{}^{2}$
$p$

$p=-\frac{1}{3}{\sigma }_{ij}=-\frac{1}{3}{I}_{1}$
${s}_{ij}$

${s}_{ij}={\sigma }_{ij}+p{\delta }_{i}^{j}$
${}_{c}$

$\beta$

${p}_{0}$

$\frac{\partial F}{\partial p}\left({p}_{0}\right)=0$

### 塑性流れ

$p>{p}_{0}$の場合（たとえば、流れがキャップ上で関連付けられるようになる場合）(10) $G=F$

$\frac{\partial G}{\partial p}\left({p}_{0}\right)=\frac{\partial F}{\partial p}\left({p}_{0}\right)=0$なので塑性ポテンシャルは連続的です。

### 硬化と軟化

キャップは、以下に従って${p}_{a}$が大きくなると仮定して、パラメータ${p}_{b}$のみで定義します。(12) $\frac{{p}_{a}}{{p}_{b}}=\frac{{p}_{a0}}{{p}_{b0}}=\alpha$
ここで、
${p}_{a0}$ および ${p}_{b0}$
${p}_{a}$および★の初期値 ${p}_{b}$
${p}_{b}$の変化は、入力fct_IDpbで指定する曲線に基づいて${\epsilon }_{v}^{p}=-{\epsilon }_{ii}^{p}$に依存します。

• せん断降伏は${p}_{b}$に影響します。この影響は、流れ則によって適用される可能性があるダイラタンシーに依存します。岩石などについては、この現象の発生を防止するオプションが用意されています（キャップ軟化を無効にするフラグIsoft）。
• ${p}_{a}$ は、によって${p}_{b}$から導かれます。 式 12
• 軟化が可能な場合は、条件${p}_{a}>0$が適用されます。それ以外の場合は★です。 $d{\epsilon }_{v}^{p}\ge 0$

### 応力とひずみとの関係の導出

$\frac{\partial G}{\partial q}=1$とした★および$d{\epsilon }_{d}^{p}=d\Lambda \frac{\partial G}{\partial q}$

★および式 11式 14式 16式 17から$d\Lambda$について解くことで、次が得られます。(18) $d\Lambda =\frac{1}{h}\left(\frac{\partial F}{\partial {s}_{ij}}2\mu d{e}_{ij}-\frac{\partial F}{\partial p}Kd{\epsilon }_{ii}\right)$

ここで、 $h=3\mu +K\frac{\partial F}{\partial p}\frac{\partial G}{\partial p}-\frac{\partial F}{\partial c}\frac{dc}{d{\epsilon }_{d}^{p}}-\frac{\partial G}{\partial p}\frac{\partial F}{\partial {p}_{b}}\frac{d{p}_{b}}{d{\epsilon }_{v}^{p}}$

これにより、式 18ですべての項を計算できます。

$p\le {p}_{a}$であれば$\frac{\partial F}{\partial p}=-\mathrm{tan}\beta$$\frac{\partial F}{\partial c}=-1$$\frac{\partial F}{\partial {p}_{b}}=0$が成り立ちます。

$p\ge {p}_{a}$であれば、 (19) $\frac{\partial F}{\partial p}=-\left(\mathrm{tan}\beta {r}_{c}+\frac{d{r}_{c}}{dp}\left(p\mathrm{tan}\beta +c\right)\right)$

$\frac{\partial F}{\partial c}=-{r}_{c}\left(p\right)$

および $\frac{\partial F}{\partial {p}_{b}}=\frac{-p\left(p-{p}_{a}\right)}{{r}_{c}{p}_{b}{\left({p}_{b}-{p}_{a}\right)}^{2}}\left(p\mathrm{tan}\beta +c\right)$

$p\le {p}_{a}$であれば、 $\frac{\partial G}{\partial p}=-\mathrm{tan}\psi$

${p}_{a}\le p\le {p}_{0}$であれば、 (20) $\frac{\partial G}{\partial p}=-\mathrm{tan}\psi \frac{\left({p}_{0}-p\right)}{\left({p}_{0}-{p}_{a}\right)}$

$p\ge {p}_{0}$であれば、 $\frac{\partial F}{\partial p}=\frac{\partial G}{\partial p}$

$p<{p}_{0}$および$\frac{\partial G}{\partial p}<0$であれば、キャップの軟化につながります。キャップが軟化しないフラグを設定していれば、式 14の最後の項は無意味です。これを実現するには、$\frac{\partial F}{\partial {p}_{b}}=0$を設定し、体積塑性流れ$d{\epsilon }_{v}^{p}$があっても硬化パラメータ$d{\epsilon }_{v}^{p}$が減少しないように適用します。

$p\to {p}_{b}$$\frac{d{r}_{c}}{dp}\to \infty$$d\Lambda \to \infty$の場合、式 17$d{\epsilon }_{v}^{p}$は不定になります。

この場合は、偏差項が無視されるように、1次で特殊な処理が必要になります。(22)
$d{\epsilon }_{v}^{p}=-d{\epsilon }_{v}\left(\frac{K}{K+\frac{d{p}_{b}}{d{\epsilon }_{v}^{p}}}\right)$
$d{e}_{ij}^{p}=0$

### 弾性プロパティ

キャップの降伏は、実際には圧縮プロセスのモデル化です。したがって、空隙率が小さくなると弾性プロパティは大きくなります。つまり、${\epsilon }_{v}^{p}$が増加します。

${\epsilon }_{v}^{p}$の変化に伴う$K$$\mu$の変化は、入力で指定する2つの関数で決まります。

### 多孔質モデル

(23)

${\rho }_{w0}$は水の初期密度です。

となり、${u}^{*}$に加算されます。

スムーズな遷移にするために以下を定義します。(28)
${K}_{w}$は水の体積弾性率です。 ${p}_{0}\le {p}^{\text{'}}\le {p}_{0}+{u}^{*}$となるように、純粋なvon Mises領域を追加することによってキャップを変更します。
1 Drücker D. and Prager W., 「Soil mechanics and plastic analysis of limit design」, Quart.Appl.Math., Vol. 10, 157-165, 1952.
2 R. Kohler and G. Hofstetter, A cap model for partially saturated soils, Wiley & Sons, 2007
3 Karl Terzaghi, Theoretical Soil Mechanics, Wiley & Sons, 1943