Drücker-Prager Constitutive Model (LAWS 10, 21 and 81)

Drücker-Prager (LAW10 and LAW21)

For materials, like soils and rocks, the frictional and dilatational effects are significant. In these materials, the plastic behavior depends on the pressure as the internal friction is proportional to the normal force.

Furthermore, for frictional materials, associative plasticity laws, in which the plastic flow is normal to the yield surface, are often inappropriate. Drücker-Prager ¹ yield criterion uses a modified von Mises yield criteria to incorporate the effects of pressure for massive structures:(1)

F = J_{2} - (A_{0} + A_{1} P + A_{2} P^{2})

Where,

$J_{2}$: Second invariant of deviatoric stress $J_{2} = \frac{1}{2} s_{i j} s_{i j}$
$P$: Pressure
$A_{0}$ , $A_{1}$ , $A_{2}$: Material coefficients

図 1 shows 式 1 in the plane of $\sqrt{J_{2}}$ and $P$ . The criterion expressed in the space of principal stresses represents a revolutionary surface with an axis parallel to the trisecting of the space as shown in 図 2. This representation is in contrast with the von Mises criteria where yield criterion has a cylindrical shape. Drücker-Prager criterion is a simple approach to model the materials with internal friction because of the symmetry of the revolution surface and the continuity in variation of normal to the yield surface.

For LAW10 pressure evaluation for EOS is described with /EOS/COMPATION.

The pressure in the material is determined in function of volumetric strain for loading phase:(2)

P = f (μ)

for loading $d μ > 0$

Where,

f

is a user-defined (LAW21) or a cubic polynomial function (LAW10). For unloading phase, if the volumetric strain has a negative value, a linear relation is defined as:(3)

P = C_{1} μ

for unloading $d μ < 0$ and $μ < 0$

For unloading with a positive volumetric strain, another linear function may be used:(4)

P = B μ

for unloading $d μ < 0$ and $μ > 0$

In Radioss extended Drücker-Prager model is used in LAW10 and LAW21. Neither of these laws can reproduce the mono-dimensional behavior. In addition, no viscous effect is taken into account.

キャップを持つDrücker-Prager構成モデル（LAW81）

降伏曲面

Drücker-Pragerの降伏曲面は次のとおりです。(5)

F = q - r_{c} (p) \cdot (p \tan β + c) = 0

この材料則で

p_{a} < p < p_{b}

によって考慮するキャップ硬化は次のように記述できます。(6)

r_{c} (p) = \sqrt{1 - {(\frac{p - p_{a}}{p_{b} - p_{a}})}^{2}}

圧縮力または引張り力が小さい場合は

p \leq p_{a}

が成り立つので、線形降伏曲面は次のように考慮されます。(7)

r_{c} (p) = 1

ここで、

$q$: フォンミーゼス応力; $q^{2} = 3 J_{2} = \frac{3}{2} s_{i j}^{2}$
$p$: 圧力; $p = - \frac{1}{3} σ_{i j} = - \frac{1}{3} I_{1}$
$s_{i j}$: 偏差応力; $s_{i j} = σ_{i j} + p δ_{i}^{j}$
$_{c}$: 粘着
$β$: 摩擦角
$p_{0}$: 圧力値; $\frac{\partial F}{\partial p} (p_{0}) = 0$

塑性流れ

塑性流れは、次のように定義される関連付けのない潜在的な流れ $G$ によって制御されます。

次の場合；

p \leq p_{a}

(8)

G = q - p \cdot \tan ψ = 0

次の場合；

p_{a} < p \leq p_{0}

(9)

G = q - \tan ψ (p - \frac{{(p - p_{a})}^{2}}{2 (p_{0} - p_{a})}) = 0

p > p_{0}

の場合（たとえば、流れがキャップ上で関連付けられるようになる場合）(10)

G = F

$\frac{\partial G}{\partial p} (p_{0}) = \frac{\partial F}{\partial p} (p_{0}) = 0$ なので塑性ポテンシャルは連続的です。

定義上、潜在的な流れの方向は塑性ポテンシャルと直交しています。(11)

d ε_{i j}^{p} = d Λ \cdot \frac{\partial G}{\partial σ_{i j}}

一貫性および実験的な硬化と軟化を実現できるように、スカラー $d Λ$ を決定します。

硬化と軟化

キャップは、以下に従って

p_{a}

が大きくなると仮定して、パラメータ

p_{b}

のみで定義します。(12)

\frac{p_{a}}{p_{b}} = \frac{p_{a 0}}{p_{b 0}} = α

ここで、

$p_{a 0}$ および $p_{b 0}$: $p_{a}$ および★の初期値 $p_{b}$

p_{b}

の変化は、入力fct_ID_pbで指定する曲線に基づいて

ε_{v}^{p} = - ε_{i i}^{p}

に依存します。

注:

ε_{v}^{p}

と

p_{b}

でも同じ符号変換が考慮されます。これらは圧縮では正符号になります。

せん断降伏は $p_{b}$ に影響します。この影響は、流れ則によって適用される可能性があるダイラタンシーに依存します。岩石などについては、この現象の発生を防止するオプションが用意されています（キャップ軟化を無効にするフラグI_soft）。
$p_{a}$ は、によって $p_{b}$ から導かれます。式 12
軟化が可能な場合は、条件 $p_{a} > 0$ が適用されます。それ以外の場合は★です。 $d ε_{v}^{p} \geq 0$

応力とひずみとの関係の導出

体積弾性率

K

とせん断弾性率

μ

を考慮して、偏差応力テンソルと偏差弾性ひずみテンソルとの関係、圧力と体積ひずみおよびその塑性成分との関係を記述します。(13)

d s_{i j} = 2 μ (d e_{i j} - d e_{i j}^{p})

(14)

d p = - K (d ε_{i i} - d ε_{i i}^{p}) = - K (d ε_{i i} - d ε_{i i}^{p})

以下の点に注意します。(15)

\frac{\partial G}{\partial σ_{i j}} = - \frac{1}{3} \frac{\partial G}{\partial p} δ_{i}^{j} + \frac{3}{2 q} s_{i j}

(16)

\frac{\partial F}{\partial s_{i j}} = \frac{\partial G}{\partial s_{i j}} = \frac{3}{2 q} s_{i j}

塑性体積ひずみのインクリメント

d ε_{v}^{p}

と相当塑性ひずみ

d ε_{d}^{p}

および

d Λ

を関連付けできます。(17)

d ε_{v}^{p} = d Λ \frac{\partial G}{\partial p}

$\frac{\partial G}{\partial q} = 1$ とした★および $d ε_{d}^{p} = d Λ \frac{\partial G}{\partial q}$ 。

★および式 11、式 14、式 16、式 17から

d Λ

について解くことで、次が得られます。(18)

d Λ = \frac{1}{h} (\frac{\partial F}{\partial s_{i j}} 2 μ d e_{i j} - \frac{\partial F}{\partial p} K d ε_{i i})

ここで、 $h = 3 μ + K \frac{\partial F}{\partial p} \frac{\partial G}{\partial p} - \frac{\partial F}{\partial c} \frac{d c}{d ε_{d}^{p}} - \frac{\partial G}{\partial p} \frac{\partial F}{\partial p_{b}} \frac{d p_{b}}{d ε_{v}^{p}}$

これにより、式 18ですべての項を計算できます。

$p \leq p_{a}$ であれば $\frac{\partial F}{\partial p} = - \tan β$ 、 $\frac{\partial F}{\partial c} = - 1$ 、 $\frac{\partial F}{\partial p_{b}} = 0$ が成り立ちます。

p \geq p_{a}

であれば、 (19)

\frac{\partial F}{\partial p} = - (\tan β r_{c} + \frac{d r_{c}}{d p} (p \tan β + c))

$\frac{\partial F}{\partial c} = - r_{c} (p)$

および $\frac{\partial F}{\partial p_{b}} = \frac{- p (p - p_{a})}{r_{c} p_{b} {(p_{b} - p_{a})}^{2}} (p \tan β + c)$

$p \leq p_{a}$ であれば、 $\frac{\partial G}{\partial p} = - \tan ψ$

p_{a} \leq p \leq p_{0}

であれば、 (20)

\frac{\partial G}{\partial p} = - \tan ψ \frac{(p_{0} - p)}{(p_{0} - p_{a})}

$p \geq p_{0}$ であれば、 $\frac{\partial F}{\partial p} = \frac{\partial G}{\partial p}$

最後に、

\frac{d q}{d p} = 0

によって次が得られます。(21)

p_{0} = p_{a} + \frac{- (p_{a} \tan β + c) + \sqrt{{(p_{a} \tan β + c)}^{2} + 8 {[\tan β (p_{b} - p_{a})]}^{2}}}{4 \tan β}

$p < p_{0}$ および $\frac{\partial G}{\partial p} < 0$ であれば、キャップの軟化につながります。キャップが軟化しないフラグを設定していれば、式 14の最後の項は無意味です。これを実現するには、 $\frac{\partial F}{\partial p_{b}} = 0$ を設定し、体積塑性流れ $d ε_{v}^{p}$ があっても硬化パラメータ $d ε_{v}^{p}$ が減少しないように適用します。

$p \to p_{b}$ 、 $\frac{d r_{c}}{d p} \to \infty$ 、 $d Λ \to \infty$ の場合、式 17で $d ε_{v}^{p}$ は不定になります。

この場合は、偏差項が無視されるように、1次で特殊な処理が必要になります。(22)

d ε_{v}^{p} = - d ε_{v} (\frac{K}{K + \frac{d p_{b}}{d ε_{v}^{p}}})

d e_{i j}^{p} = 0

弾性プロパティ

キャップの降伏は、実際には圧縮プロセスのモデル化です。したがって、空隙率が小さくなると弾性プロパティは大きくなります。つまり、 $ε_{v}^{p}$ が増加します。

ε_{v}^{p}

の変化に伴う

K

と

μ

の変化は、入力で指定する2つの関数で決まります。

注: 一般的に、可変の弾性プロパティを使用した場合、全面的な除荷後の硬化パラメータ

ε_{v}^{p} = \int d ε_{v}^{p}

と体積デフォーメーションには一貫性がなくなります。

多孔質モデル

多孔質モデルは²にヒントを得たモデルであり、空隙のある弾性粒状物で土が構成されていると仮定しています。エネルギーが少なく、完全には圧縮していない土に適用します。大きなエネルギーで完全に圧縮した土では状態方程式を使用する必要があります。この材料則では、空隙の体積変化に弾性部分と塑性部分があります。弾性部分は、スケルトンの弾性デフォーメーションに起因して発生します。塑性部分は粒状物の再配置に相当し、圧力載荷による圧縮を誘発するほか、せん断載荷が進行している場合はダイラタンシーも誘発します。

注: 空気の存在は、このモデルの構成要素になりません。空隙率は、全参照体積にボイドが占める体積の比率として定義します。

(23)

n = \frac{V_{v o i d}}{V_{t o t a l}}

弾性材料ではボイドの体積は変化しません。一方、塑性材料では、空隙率の変化を次のように定義します。 (24)

n = 1 - (1 - n_{0}) e^{ε_{v}^{p} - ε_{v 0}^{p}}

孔の初期状態は、初期空隙率、初期飽和度、および初期孔圧力で定義します。飽和度は、次のように空隙体積に対する水分体積の比率として定義します。(25)

S = \frac{V_{w a t e r}}{V_{v o i d}}

上記の空隙は、水で部分的に満たされていても、全体が満たされていてもかまいません。土質力学では、土が飽和していない $S < 1$ である場合、水による影響の因子はその重量と質量のみなので、水圧 $u = 0$ ;となります。その機械的特性は排水土壌の場合と同様です。土が水で飽和した $S \geq 1$ の場合は、Terzaghiの仮定を使用して水圧 $u$ を考慮します。³ 全圧力は $p = p^{'} + u$ となります。 $p$ は、空隙がある構造での有効圧力です。また、初期水圧がスケルトンの初期圧力を超えないと仮定します。

空隙の平均密度は、水の質量を空隙の体積で除算して求めることができます。(26)

ρ_{v o i d} = \frac{m_{w a t e r}}{V_{v o i d}}

次に以下を定義します。 (27)

μ_{w} = \frac{ρ_{v o i d}}{ρ_{w 0}} - 1

$ρ_{w 0}$ は水の初期密度です。

安定性を確保するために粘性項を追加します。

$μ_{w} > - t o l then u_{v i s} = - α_{v} \sqrt{K_{w} ρ} {(V o l)}^{\frac{1}{3}} ε_{v}$ となり、 $u^{*}$ に加算されます。

スムーズな遷移にするために以下を定義します。(28)

\begin{array}{l} If μ_{w} < - t o l : u^{*} = 0 \\ If | μ_{w} | < t o l : u^{*} = \frac{K_{w}}{4 t o l} {(μ_{w} + t o l)}^{2} \\ If μ_{w} > t o l : u^{*} = K_{w} μ_{w} \end{array}

K_{w}

は水の体積弾性率です。

p_{0} \leq p^{'} \leq p_{0} + u^{*}

となるように、純粋なvon Mises領域を追加することによってキャップを変更します。

¹ Drücker D. and Prager W., 「Soil mechanics and plastic analysis of limit design」, Quart.Appl.Math., Vol. 10, 157-165, 1952.

² R. Kohler and G. Hofstetter, A cap model for partially saturated soils, Wiley & Sons, 2007

³ Karl Terzaghi, Theoretical Soil Mechanics, Wiley & Sons, 1943