付録

基本的な関係式

	$E, ν$ $E, ν$	$E, G$ $E, G$	$E, B$ $E, B$	$G, ν$ $G, ν$	$G, B$ $G, B$	$B, ν$ $B, ν$	$λ, μ$ $λ, μ$
$E$ $E$	$E$ $E$	$E$ $E$	$E$ $E$	$2 (1 + ν) G$ $2 (1 + ν) G$	$\frac{9 B G}{3 B + G}$ $\frac{9 B G}{3 B + G}$	$3 (1 - 2 ν) B$ $3 (1 - 2 ν) B$	$\frac{(3 λ + 2 μ) μ}{λ + μ}$ $\frac{(3 λ + 2 μ) μ}{λ + μ}$
$G = μ$ $G = μ$	$\frac{E}{2 (1 + ν)}$ $\frac{E}{2 (1 + ν)}$	$G$ $G$	$\frac{3 E B}{9 B - E}$ $\frac{3 E B}{9 B - E}$	$G$ $G$	$G$ $G$	$\frac{3 (1 - 2 ν) B}{2 (1 + ν)}$ $\frac{3 (1 - 2 ν) B}{2 (1 + ν)}$	$μ$ $μ$
$B = K$ $B = K$	$\frac{E}{3 (1 - 2 ν)}$ $\frac{E}{3 (1 - 2 ν)}$	$\frac{E G}{9 G - 3 E}$ $\frac{E G}{9 G - 3 E}$	$B$ $B$	$\frac{2 (1 + ν) G}{3 (1 - 2 ν)}$ $\frac{2 (1 + ν) G}{3 (1 - 2 ν)}$	$B$ $B$	$B$ $B$	$\frac{3 λ + 2 μ}{3}$ $\frac{3 λ + 2 μ}{3}$
$ν$ $ν$	$ν$ $ν$	$\frac{E - 2 G}{2 G}$ $\frac{E - 2 G}{2 G}$	$\frac{3 B - E}{6 B}$ $\frac{3 B - E}{6 B}$	$ν$ $ν$	$\frac{3 B - 2 G}{6 B + 2 G}$ $\frac{3 B - 2 G}{6 B + 2 G}$	$ν$ $ν$	$\frac{λ}{2 (λ + μ)}$ $\frac{λ}{2 (λ + μ)}$
$D_{11}$ $D_{11}$	$\frac{E (1 - ν)}{(1 + ν) (1 - 2 ν)}$ $\frac{E (1 - ν)}{(1 + ν) (1 - 2 ν)}$	$\frac{(4 G - E) G}{3 G - E}$ $\frac{(4 G - E) G}{3 G - E}$	$\frac{3 B (3 B + E)}{9 B - E}$ $\frac{3 B (3 B + E)}{9 B - E}$	$\frac{2 G (1 - ν)}{1 - 2 ν}$ $\frac{2 G (1 - ν)}{1 - 2 ν}$	$\frac{3 B + 4 G}{3}$ $\frac{3 B + 4 G}{3}$	$\frac{3 B (1 - ν)}{1 + ν}$ $\frac{3 B (1 - ν)}{1 + ν}$	$λ + 2 μ$ $λ + 2 μ$
$D_{12} = λ$ $D_{12} = λ$	$\frac{E ν}{(1 + ν) (1 - 2 ν)}$ $\frac{E ν}{(1 + ν) (1 - 2 ν)}$	$\frac{(E - 2 G) G}{3 G - E}$ $\frac{(E - 2 G) G}{3 G - E}$	$\frac{3 B (3 B - E)}{9 B - E}$ $\frac{3 B (3 B - E)}{9 B - E}$	$\frac{2 G ν}{1 - 2 ν}$ $\frac{2 G ν}{1 - 2 ν}$	$\frac{3 B - 2 G}{3}$ $\frac{3 B - 2 G}{3}$	$\frac{3 B ν}{1 + ν}$ $\frac{3 B ν}{1 + ν}$	$λ$ $λ$
$C_{11}$ $C_{11}$	$\frac{E}{1 + ν^{2}}$ $\frac{E}{1 + ν^{2}}$	$\frac{4 G G}{4 G - E}$ $\frac{4 G G}{4 G - E}$	$\frac{36 B E}{36 - {(3 - \frac{E}{B})}^{2}}$ $\frac{36 B E}{36 - {(3 - \frac{E}{B})}^{2}}$	$\frac{2 G}{1 - ν}$ $\frac{2 G}{1 - ν}$	$\frac{4 G (3 B + G)}{3 B + 4 G}$ $\frac{4 G (3 B + G)}{3 B + 4 G}$	$\frac{3 B (1 - 2 ν)}{1 - ν^{2}}$ $\frac{3 B (1 - 2 ν)}{1 - ν^{2}}$
$C_{12}$ $C_{12}$	$\frac{E ν}{1 + ν^{2}}$ $\frac{E ν}{1 + ν^{2}}$	$\frac{(E - 2 G) 2 G}{4 G - E}$ $\frac{(E - 2 G) 2 G}{4 G - E}$	$\frac{6 E (3 - \frac{E}{B})}{36 - {(3 - \frac{E}{B})}^{2}}$ $\frac{6 E (3 - \frac{E}{B})}{36 - {(3 - \frac{E}{B})}^{2}}$	$\frac{2 G ν}{1 - ν}$ $\frac{2 G ν}{1 - ν}$	$\frac{2 G (3 B - 2 G)}{3 B + 4 G}$ $\frac{2 G (3 B - 2 G)}{3 B + 4 G}$	$\frac{3 B (1 - 2 ν)}{1 - ν^{2}}$ $\frac{3 B (1 - 2 ν)}{1 - ν^{2}}$

Hook則3D（主応力とひずみ）

$σ = D ε$ $σ = D ε$

$σ_{1} = D_{11} ε_{1} + D_{12} ε_{2} + D_{13} ε_{3}$ $σ_{1} = D_{11} ε_{1} + D_{12} ε_{2} + D_{13} ε_{3}$

$σ_{1} = (λ + 2 μ) ε_{1} + λ (ε_{2} + ε_{3})$ $σ_{1} = (λ + 2 μ) ε_{1} + λ (ε_{2} + ε_{3})$

$σ_{1} = λ (ε_{1} + ε_{2} + ε_{3}) + 2 μ ε_{1}$ $σ_{1} = λ (ε_{1} + ε_{2} + ε_{3}) + 2 μ ε_{1}$

$σ_{1} = K ε_{k k} + 2 μ e_{1}$ $σ_{1} = K ε_{k k} + 2 μ e_{1}$ ここで、 $ε_{k k} = ε_{1} + ε_{2} + ε_{3}$ $ε_{k k} = ε_{1} + ε_{2} + ε_{3}$ および $e_{1} = ε_{1} - \frac{1}{3} (ε_{1} + ε_{2} + ε_{3})$ $e_{1} = ε_{1} - \frac{1}{3} (ε_{1} + ε_{2} + ε_{3})$

Hook則2D（平面応力）

$σ = C ε$ $σ = C ε$

$σ_{1} = C_{11} ε_{1} + C_{12} ε_{2}$ $σ_{1} = C_{11} ε_{1} + C_{12} ε_{2}$

単位系

長さ	時間	質量	力	圧力	速度	$ρ$ $ρ$	エネルギー	G
m	s	Kg	Kg m/s2	N/m2	m/s	Kg/m3	Kmg2/s2	9.81
m	s	Kg	N	Pa	m/s	m Kg/l	J	9.81
m	s	g	mN	mPa	m/s	$μ$ $μ$ Kg/l	mJ	9.81
m	s	Mg (ton)	KN	KPa	m/s	Kg/l	KJ	9.81
m	ms	Kg	MN	MPa	Km/s	m Kg/l	MJ	9.81e-6
m	ms	g	KN	KPa	Km/s	$μ$ $μ$ Kg/l	KJ	9.81e-6
m	ms	Mg (ton)	GN	GPa	Km/s	Kg/l	GJ	9.81e-6
mm	s	Kg	mN	KPa	mm/s	M Kg/l	mJ	9.81e+3
mm	s	g	mN	Pa	mm/s	K Kg/l	nJ	9.81e+3
mm	s	Mg (ton)	N	MPa	mm/s	G Kg/l	mJ	9.81e+3
mm	ms	Kg	KN	GPa	m/s	M Kg/l	J	9.81e-3
mm	ms	g	N	MPa	m/s	K Kg/l	mJ	9.81e-3
mm	ms	Mg (ton)	MN	TPa	m/s	G Kg/l	KJ	9.81e-3
cm	ms	g	daN	10⁵Pa bar	dam/s	Kg/l	dJ	9.81e-4
cm	ms	Kg	10⁴ N (KdaN)	10⁸Pa (Kbar)	dam/s	K Kg/l	hJ	9.81e-4
cm	ms	Mg (ton)	10⁷ N (MdaN)	10¹¹ Pa (Mbar)	dam/s	M Kg/l	10⁵ J	9.81e-10
cm	$μ_{s}$ $μ_{s}$	g	10⁷ N (MdaN)	10¹¹ Pa (Mbar)	10⁴ m/s	Kg/l	10⁵ J	9.81e-10

フィルタリング

多くの場合、数値的なノイズを除去するために、材料則や破壊基準の結果をフィルタリングすることが有用です。これは、ひずみ速度効果を含む材料モデルでは特に重要です。最も一般的なフィルターは、指数移動平均フィルターです。ほとんどの材料では、F_cutを用いて入力されたカットオフ周波数とフィルタリングを有効にするためにフラグF_smooth = 1を定義する必要があります。ひずみ速度をフィルタリングする場合は、以下の式を使用します：(1)

{˙ ε}_{f} (t) = a ˙ ε (t) + (1 - a) ˙ ε (t - d t)

${\dot{ε}}_{f} (t) = a \dot{ε} (t) + (1 - a) \dot{ε} (t - d t)$

ここで、

$a = 2 π d t F_{c u t}$ $a = 2 π d t F_{c u t}$
$d t$ $d t$: シミュレーションの時間ステップ
F_cut: カットオフ周波数
${˙ ε}_{f}$ ${\dot{ε}}_{f}$: フィルタリングされたひずみ速度

したがって、 (2)

$F_{c u t} = \frac{a}{2 π d t}$

カットオフ周波数は、モデルの時間ステップの関数です。経験上、変形の速度も重要であることがわかります。自動車の衝突のように低速である場合、1 – 10 kHz（1000 – 10,000 Hz）が良好な値ですが、弾道のような高速イベントでは、より少ないフィルタリングを使用すべきであり、したがって、1 – 10 GHzが適切です。各シミュレーションの妥当な値を決定するためには、優れた工学的判断が必要です。ひずみ速度のフィルタリングの例については、RD-E： 1102 ひずみ速度効果をご参照ください。