ACU-T：5301 船体力学

このチュートリアルで扱う問題を下の図に示します。これは、Wigley船モデルの中央断面です。Wigley船体は、船の流体力学的挙動を評価するテストケースとして広く使用されています。このチュートリアルでは、重力波が自由に浮遊するWigley船体に当たる様子をシミュレートし、時間に伴う船体の位置を求める方法を示します。このチュートリアルは、静止船体チュートリアルに似ていますが、船体が剛体として自由に浮遊する点が異なります。

このチュートリアルで考慮する運動は船の長さに対して垂直であるため、精度を損なうことなく計算時間が短い船体の2D断面の解析が適しています。Wigley船体の中央断面寸法は船の全長の関数であり、このチュートリアルで使用されるモデルは船の長さが1mのWigley船体の中央断面です。

図 1. 船体の概略図

表面重力波の生成

海の自由表面上の風による重力波は、UDF（ユーザー定義関数）を使用して生成されます。

図 2. 重力波

表面重力波伝播の線形解は、波の水平速度に関する次の方程式で表現されます。

$u=U_0+U\frac{\cosh k\left(D-z\right)}{\sinh \left(kD\right)}\text{cos}\left(\omega t-kx\right)$

ここで、

$u$ は波の水平粒子速度

$U_0$ は波の速度

Uは撹乱の速度振幅

$k$ は波番号 = $2\pi /\lambda$

$\lambda$ は波の波長

$D$ は水深

$\omega$ は波の周波数 = $\frac{2\pi }{T}$

$T$ は波の時間周期

tは時間

このシミュレーションでは、上の方程式の変数として次の値が使用されます。

U = 0.1256m/s

$T$ = 1.0秒

$k$ = 12.566m^-1

$U_0$ = 0.01m/s

$D$ = 0.5m

このチュートリアルでは、入口で、２秒間の波を生成し、５秒間の波の運動をシミュレートします。このために、C言語で書かれたUDF（wave.c）が使用されます。wave.cで使用される関数の詳細については、AcuSolve User-Defined Functions Manualをご参照ください。

AcuSolveでの２次元シミュレーション

AcuSolve は、2Dサーフェスメッシュ上のCFD解析をサポートしていません。ただし、対象の2Dサーフェスの垂直方向に沿った単一要素の押し出し、および押し出しの両側で対称または滑りの同じ境界条件を使用することにより、ボリュームメッシュでの2D解析をシミュレートできます。この方法では、本質的に問題の2D表現である厚み（押し出し）に沿って解が変化しません。このチュートリアルではこのアプローチを使用します。

ソリッド船体のモデリング

このチュートリアルでは、船体の次の特性を前提とします。

材料 = アルミニウム

密度 = 2702kg/m³

体心 = (1.12971, 0.0, 0.0082984) m

船体質量 = 0.2038kg

船体重量 = 0.2038 × 9.81 = 2.0N

慣性モーメントの成分（kg m²）：

$I_{xx}$ = 0.00113969

$I_{yy}$ = 0.0051392

$I_{zz}$ = 0.004006

$I_{xy}=I_{yx}=0$

$I_{yz}=I_{zy}=0$

$I_{zx}=I_{xz}=0$

剛体動解析

剛体モデルの定義と運動方程式の解を単純化するために局所座標系を使用します。並進および回転の運動方程式は次のとおりです。

$ma+C v+K x =F_I+F_E$

$I \alpha +D \omega +L \theta =R_I+R_E$

ここで、

$x, v, a$ は、それぞれ、以下で表される並進変位ベクトル、速度ベクトル、および加速度ベクトル：

$x=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$、 $v=\left[\begin{array}{c}{v}_x\\ v_y\\ v_z\end{array}\right]$、 $a=\left[\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\\ a_z\end{array}\right]$

$\theta , \omega , \alpha$ は、それぞれ、以下で表される角変位ベクトル、角速度ベクトル、および角加速度ベクトル：

$\theta =\left[\begin{array}{c}{\theta }_x\\ {\theta }_y\\ {\theta }_z\end{array}\right]$、$\omega =\left[\begin{array}{c}{\omega }_x\\ {\omega }_y\\ {\omega }_z\end{array}\right]$、 $\alpha =\left[\begin{array}{c}{\alpha }_x\\ {\alpha }_y\\ {\alpha }_z\end{array}\right]$

$m$ はボディの質量

$I=\left[\begin{array}{ccc}{I}_{xx}& I_{xy}& I_{xz}\\ I_{yx}& I_{yy}& I_{yz}\\ I_{zx}& I_{zy}& I_{zz}\end{array}\right]$ はボディの２項積（慣性モーメント）マトリックス

$C, D$ はそれぞれ並進減衰マトリックスと回転減衰マトリックス

$K, L$ はそれぞれ並進剛性マトリックスと回転剛性マトリックス

$F_I, R_I$ は流体からの内力とモーメント

$F_E, R_E$ は指定した外力とモーメント

2D問題の剛体動解析

このチュートリアルでは、y軸に沿って単一要素押し出しが作成されます。上記前提に基づいて、次の式が導き出されます。

$x=\left[\begin{array}{c}x\\ 0\\ z\end{array}\right]$、 $v=\left[\begin{array}{c}{v}_x\\ 0\\ v_z\end{array}\right]$、 $a=\left[\begin{array}{c}{a}_x\\ 0\\ a_z\end{array}\right]$

$\theta =\left[\begin{array}{c}0\\ {\theta }_y\\ 0\end{array}\right]$、 $\omega =\left[\begin{array}{c}0\\ {\omega }_y\\ 0\end{array}\right]$、 $\alpha =\left[\begin{array}{c}0\\ {\alpha }_y\\ 0\end{array}\right]$

並進の運動方程式は次のようになります。

$m a =F_I+F_E$

$m\left[\begin{array}{c}{a}_x\\ 0\\ a_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{F}_I{}_x\\ F_I{}_y\\ F_I{}_z+F_g\end{array}\right]$

回転の運動方程式は次のようになります。

$I \alpha =R_I+R_E$

$\left[\begin{array}{ccc}{I}_{xx}& I_{xy}& I_{xz}\\ I_{yx}& I_{yy}& I_{yz}\\ I_{zx}& I_{zy}& I_{zz}\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}0\\ {\alpha }_y\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ R_I{}_y\\ 0\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{c}{I}_{xy}{\alpha }_y\\ I_{yy}{\alpha }_y\\ I_{zy}{\alpha }_y\end{array}\right]= \left[\begin{array}{c}0\\ R_I{}_y\\ 0\end{array}\right]$

${\alpha }_y =\frac{R_I{}_y}{I_{yy}}$

このチュートリアルの慣性モーメントの唯一の重要な成分は、$I_{yy}$。