# 剛体

## 剛体の質量

$m={m}^{M}+\sum _{I}{m}^{I}$

${x}^{G}=\frac{{m}^{M}{x}^{M}+\sum {m}^{I}{x}^{I}}{m}$
(3)
${y}^{G}=\frac{{m}^{M}{y}^{M}+\sum {m}^{I}{y}^{I}}{m}$
(4)
${z}^{G}=\frac{{m}^{M}{z}^{M}+\sum {m}^{I}{z}^{I}}{m}$
ここで、
${m}^{M}$
メイン節点の質量
${m}^{I}$
セカンダリ節点の質量
${x}^{G}$ ${y}^{G}$ ${z}^{G}$

## 剛体の慣性

${I}_{xx}={J}_{xx}^{M}+{m}^{M}\left({\left({y}_{M}-{y}_{G}\right)}^{2}+{\left({z}_{M}-{z}_{G}\right)}^{2}\right)+\sum _{i}\left({I}_{xx}^{i}+{m}^{i}\left({\left({y}_{i}-{y}_{G}\right)}^{2}+{\left({z}_{i}-{z}_{G}\right)}^{{}^{2}}\right)\right)$
(6)
${I}_{yy}={J}_{yy}^{M}+{m}^{M}\left({\left({x}_{M}-{x}_{G}\right)}^{2}+{\left({z}_{M}-{z}_{G}\right)}^{2}\right)+\sum _{i}\left({I}_{yy}^{i}+{m}^{i}\left({\left({x}_{i}-{x}_{G}\right)}^{2}+{\left({z}_{i}-{z}_{G}\right)}^{{}^{2}}\right)\right)$
(7)
${I}_{zz}={J}_{zz}^{M}+{m}^{M}\left({\left({x}_{M}-{x}_{G}\right)}^{2}+{\left({y}_{M}-{y}_{G}\right)}^{2}\right)+\sum _{i}\left({I}_{zz}^{i}+{m}^{i}\left({\left({x}_{i}-{x}_{G}\right)}^{2}+{\left({y}_{i}-{y}_{G}\right)}^{{}^{2}}\right)\right)$
(8)
${I}_{xy}={J}_{xy}^{M}+{m}^{M}\left({\left({x}_{M}-{x}_{G}\right)}^{}+{\left({y}_{M}-{y}_{G}\right)}^{}\right)+\sum _{i}\left({I}_{xy}^{i}-{m}^{i}\left({\left({x}_{i}-{x}_{G}\right)}^{}+{\left({y}_{i}-{y}_{G}\right)}^{{}^{}}\right)\right)$
(9)
${I}_{yz}={J}_{yz}^{M}+{m}^{M}\left({\left({y}_{M}-{y}_{G}\right)}^{}+{\left({z}_{M}-{z}_{G}\right)}^{}\right)+\sum _{i}\left({I}_{yz}^{i}-{m}^{i}\left({\left({y}_{i}-{y}_{G}\right)}^{}+{\left({z}_{i}-{z}_{G}\right)}^{{}^{}}\right)\right)$
(10)
${I}_{xz}={J}_{xz}^{M}+{m}^{M}\left({\left({x}_{M}-{x}_{G}\right)}^{}+{\left({z}_{M}-{z}_{G}\right)}^{}\right)+\sum _{i}\left({I}_{xz}^{i}-{m}^{i}\left({\left({x}_{i}-{x}_{G}\right)}^{}+{\left({z}_{i}-{z}_{G}\right)}^{{}^{}}\right)\right)$
ここで、
${I}_{ij}$
$ij$ 方向の回転慣性のモーメント
${J}_{ij}^{M}$
メイン節点に付加された慣性

## 剛体の荷重とモーメントの計算

$\stackrel{\to }{F}={\stackrel{\to }{F}}^{M}+\sum _{i}{\stackrel{\to }{F}}^{i}$
(12)
$\stackrel{\to }{M}={\stackrel{\to }{M}}^{M}+\sum _{i}{\stackrel{\to }{M}}^{i}+\sum _{i}{S}_{i}\stackrel{\to }{G}×{\stackrel{\to }{F}}^{i}$
ここで、
${\stackrel{\to }{F}}^{M}$
メイン節点における荷重ベクトル
${\stackrel{\to }{F}}^{i}$
セカンダリ節点における荷重ベクトル
${\stackrel{\to }{M}}^{M}$
メイン節点におけるモーメントベクトル
${\stackrel{\to }{M}}^{i}$
セカンダリ節点におけるモーメントベクトル
$\stackrel{\to }{G}$
セカンダリ節点から質量中心へ向かうベクトル

これらの式を直交成分に解くと、次のように線加速度と回転加速度を計算できます。

${\gamma }_{i}=\frac{{F}_{i}}{m}$

${I}_{1}{\alpha }_{1}={M}_{1}-\left({I}_{3}-{I}_{2}\right){\omega }_{2}{\omega }_{3}$
(15)
${I}_{2}{\alpha }_{2}={M}_{2}-\left({I}_{1}-{I}_{3}\right){\omega }_{1}{\omega }_{3}$
(16)
${I}_{3}{\alpha }_{3}={M}_{3}-\left({I}_{2}-{I}_{1}\right){\omega }_{1}{\omega }_{2}$
ここで、
${I}_{i}$

${\alpha }_{1}$

${\omega }_{i}$

${M}_{i}$

## 時間積分

$\stackrel{\to }{\nu }\left(t+\frac{\text{Δ}t}{2}\right)=\stackrel{\to }{\nu }\left(t-\frac{\text{Δ}t}{2}\right)+\stackrel{\to }{\gamma }\left(t\right)\text{Δ}t$
(18)
$\stackrel{\to }{\omega }\left(t+\frac{\text{Δ}t}{2}\right)=\stackrel{\to }{\omega }\left(t-\frac{\text{Δ}t}{2}\right)+\stackrel{\to }{\alpha }\left(t\right)\text{Δ}t$

$\stackrel{\to }{v}$ は線速度ベクトルです。回転速度は局所参照フレームで計算します。

セカンダリ節点の速度は次の式で求められます。(19)
${\stackrel{\to }{\nu }}^{i}={\stackrel{\to }{\nu }}^{M}+{S}_{i}\stackrel{\to }{G}x\stackrel{\to }{\omega }$
(20)
${\stackrel{⇀}{\omega }}^{i}={\stackrel{\to }{\omega }}^{M}$

## 境界条件

セカンダリ節点に指定した境界条件は無視されます。剛体の境界条件は、メイン節点に指定した境界条件のみとなります。

メイン節点には運動条件が適用されません。ただし、回転速度は局所参照フレームで計算します。この参照フレームでは、回転を適用するどのオプション（適用する速度、回転、剛結など）も使用できません。