ひずみ速度

3次元ソリッド要素では、物理座標系と計算上の固有座標系との関係が次のマトリックス方程式で与えられます。(1)
[ ∂ Φ I ∂ ξ ∂ Φ I ∂ η ∂ Φ I ∂ ζ ] = [ ∂ x ∂ ξ ∂ y ∂ ξ ∂ z ∂ ξ ∂ x ∂ η ∂ y ∂ η ∂ z ∂ η ∂ x ∂ ζ ∂ y ∂ ζ ∂ z ∂ ζ ] . [ ∂ Φ I ∂ x ∂ Φ I ∂ y ∂ Φ I ∂ z ] = F ξ . [ ∂ Φ I ∂ x ∂ Φ I ∂ y ∂ Φ I ∂ z ]
ここから次の式が得られます。(2)
[ ∂ Φ I ∂ x i ] = F ξ − 1 . [ ∂ Φ I ∂ ξ ]

F ξ はヤコビアンマトリックスです。

要素のひずみ速度は次の式で得られます。(3)
ε ˙ i j = 1 2 ( ∂ v i ∂ x j + ∂ v j ∂ x i )
要素の速度場と形状関数を関連付けると次のようになります。(4)
∂ v i ∂ x j = ∑ I = 1 8 ∂ Φ I ∂ x j ⋅ v i I
したがって、ひずみ速度は、形状関数について直接次のように記述できます。(5)
ε ˙ i j = 1 2 ( ∂ v i ∂ x j + ∂ v j ∂ x i ) = ∑ I = 1 8 ∂ Φ I ∂ x j ⋅ v i I

Velocity Strain or Deformation Rateで見たように、体積ひずみ速度は体積の変動を使用して別途計算します。

1積分点による手法では次のようになります。(6)
∂ Φ 1 ∂ x j = − ∂ Φ 7 ∂ x j ;   ∂ Φ 2 ∂ x j = − ∂ Φ 8 ∂ x j ;   ∂ Φ 3 ∂ x j = − ∂ Φ 5 ∂ x j ;   ∂ Φ 4 ∂ x j = − ∂ Φ 6 ∂ x j

有限要素法は、ALE法とEuler定式化で偏差ひずみ速度を計算する場合にのみ使用します。

体積ひずみ率は、密度と体積変動の移動によって別途計算します。