アワグラスモード

アワグラスモードは要素のゆがみの一種で、ひずみエネルギーがゼロになります。したがって、要素内部に応力が発生しません。3次元ソリッド要素では、3本の座標軸方向にそれぞれ4種類、合計で12種類のアワグラスモードがあります。 Γ MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKf MBHbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhi ov2DaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8 qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9 q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaacaGacmGadaWaaiqacaabaiaafaaake aacqqHtoWraaa@3A3F@ は、Flanagan-Belytschkoによる定義のアワグラスモードベクトルを表します。1 これらのモードでは、標準的な1積分点手法では考慮できない線形ひずみモードが生成されます。


図 1.
Γ 1 = ( + 1 , 1 , + 1 , 1 , + 1 , 1 , + 1 , 1 )


図 2.
Γ 2 = ( + 1 , + 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , + 1 , + 1 )


図 3.
Γ 3 = ( + 1 , 1 , 1 , + 1 , 1 , + 1 , + 1 , 1 )


図 4.

Γ 4 = ( + 1 , 1 , + 1 , 1 , 1 , + 1 , 1 , + 1 )

この現象を補正するには、アンチアワグラスの力とモーメントを導入する必要があります。以下では、考えられる2つの定式化を紹介します。

Kosloff-Frasier定式化

Kosloff-Frasierアワグラス定式化2では、簡素化したアワグラスベクトルを使用します。アワグラスの速度率は次のように定義できます。(1)
q i α t = I = 1 8 Γ I α v i I
ここで、
Γ
非直交アワグラスモード形状ベクトル
ν
節点速度ベクトル
i MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKf MBHbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhi ov2DaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8 qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9 q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaacaGacmGadaWaaiqacaabaiaafaaake aacaWGPbaaaa@39C5@
方向のインデックス(1~3)
I MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKf MBHbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhi ov2DaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8 qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9 q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaacaGacmGadaWaaiqacaabaiaafaaake aacaWGPbaaaa@39C5@
節点のインデックス(1~8)
α
アワグラスモードのインデックス(1~4)

このベクトルは、剛体と変形モードに対して正確には直交していません。

Radiossでソリッド要素に適用する物理的安定化の定式化を除き、どのアワグラス定式化でも粘性減衰の手法を使用します。これにより、アワグラスの抵抗力を次の式で記述できます。(2)
f i I h g r = 1 4 ρ c h ( Ω 3 ) 2 α q i α t Γ I α
ここで、
ρ
材料密度
c
音速
h
入力で各次元に定義しているスケーリング係数
Ω
体積

Flanagan-Belytschko定式化

Kosloff-Frasier定式化で見たKosloff-Frasier定式化では、剛体に対して、また1積分点手法で考慮される変形モードに対して、アワグラス基底ベクトル Γ I α が正確には直交していません。1積分点手法の平均応力と平均ひずみの定式化では、一般的に物理要素モードによってアワグラスエネルギーが増加するように、全面的に線速度場のみが考慮されます。この不具合を回避するために、Flanagan-Belytschko定式化では、物理要素モードと直交した状態が維持されるアワグラス速度場を構築します。この定式化は次のように記述できます。(3)
v i I H o u r = v i I v i I L i n
この速度場の線形部分を展開して次のように記述できます。(4)
v i I H o u r = v i I ( v i I ¯ + v i I x j ( x j x j ¯ ) )
アワグラスベクトルの基底に対する分解で次の式が得られます。1(5)
q i α t = Γ I α v i I H o u r = ( v i I v i l x j x j ) Γ I α
ここで、
q i α t
アワグラスモーダル速度
Γ I α
アワグラスベクトルの基底
v i x j = Φ j x j v i J であること、および式 5の因数分解により、次の式が得られる点に留意します。(6)
q i α t = v i I ( Γ I α Φ j x j x j Γ I α )
(7)
γ I α = Γ I α Φ j x j x j Γ J α

は、式 2 Γ I α の代わりに使用するアワグラス形状ベクトルです。

物理的アワグラス定式化

内力ベクトルを次のように分解するとします。(8)
{ f I int } = { ( f I int ) 0 } + { ( f I int ) H }
弾性ケースでは次のようになります。(9)
{ f I int } = Ω [ B I ] t [ C ] j = 1 8 [ B J ] { v J } d Ω = Ω ( [ B I ] 0 + [ B ¯ I ] H ) t [ C ] j = 1 8 ( [ B J ] 0 + [ B ¯ J ] H ) { v J } d Ω

この定数部分 { ( f I int ) 0 } = Ω ( [ B I ] 0 ) t [ C ] j = 1 8 [ B J ] 0 { v J } d Ω は、上記で取り上げた1積分点による他の定式化の場合と同様に求積点で評価されます。また、非定数部分(アワグラス)は次のように計算できます。

x i ξ j = 0 ; ( i j ) の簡素化(ひずみ速度のヤコビアンマトリックス、式 1を対角マトリックスとする簡素化)により、次の式が得られます。(10)
( f i I int ) H = α = 1 4 Q i α γ I α
一般化した12のアワグラス応力速度 Q . i α を次の式で計算できます。(11)
Q . i i = μ [ ( H j j + H k k ) q ˙ i i + H i j q ˙ j j + H i k q ˙ k k ] Q . j j = μ [ 1 1 ν H i i q ˙ i j + ν ¯ H i j q ˙ j i ] Q . i 4 = 2 μ 1 + ν 3 H i i q ˙ j 4
および(12)
H ii = Ω ( ϕ j x i ) 2 dΩ= Ω ( ϕ k x i ) 2 dΩ=3 Ω ( ϕ 4 x i ) 2 dΩ H ij = Ω ϕ i x j ϕ j x i dΩ

i MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKf MBHbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhi ov2DaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8 qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9 q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaacaGacmGadaWaaiqacaabaiaafaaake aacaWGPbaaaa@39C5@ j MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKf MBHbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhi ov2DaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8 qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9 q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaacaGacmGadaWaaiqacaabaiaafaaake aacaWGPbaaaa@39C5@ k MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKf MBHbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhi ov2DaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8 qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9 q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaacaGacmGadaWaaiqacaabaiaafaaake aacaWGPbaaaa@39C5@ は順番に1~3に置き換えられ、 q ˙ i α の定義は式 6の場合と同じです。

非線形材料への拡張は、せん断係数 μ を、求積点で評価した有効な接線値に置き換えることで実現しています。通常の弾塑性材料の場合は、高度な弾塑性アワグラスの制御に説明がある、より高度な手順を使用します。

高度な弾塑性アワグラスの制御

1積分点による定式化では、弾塑性の計算で非定数部分が定数部分の状態に正確に追従していると、塑性が過小に予測されます。これは、多くの場合、一定の相当応力が要素で最小の応力となり、要素の剛性が高くなることに起因しています。したがって、この欠点に対処するために、非定数部分に降伏基準を定義することをお勧めします。
塑性降伏基準
von Misesタイプの基準は次のように記述できます。(13)
f = σ e q 2 ( ξ , η , ζ ) σ y 2 = 0
σ y を求積点で評価するソリッド要素のあらゆる点でこの式が成立します。
非定数部分に使用する基準は1つのみなので、次の2つの方法が考えられます:
  1. 平均値を使用する。つまり f = f ( σ ¯ e q ) ; σ ¯ e q = 1 Ω Ω σ e q d Ω
  2. 代表的ないくつかの点(8つのガウス点など)による値を使用する。
この要素では2番目の方法を使用しています。
弾塑性アワグラス応力の計算
増分アワグラス応力は次のように計算できます:
  • 弾性の増分

    ( σ i ) n + 1 t r H = ( σ i ) n H + [ C ] { ε ˙ } H Δ t

  • 降伏基準の確認
  • f 0 の場合は、非ラジアルリターンによってアワグラス応力が補正されます。

    ( σ i ) n + 1 H = P ( ( σ i ) n + 1 t r H , f )

1 Flanagan D. and Belytschko T., 「A Uniform Strain Hexahedron and Quadrilateral with Orthogonal Hourglass Control」, Int. Journal Num.Methods in Engineering, 17 679-706, 1981.
2 Kosloff D. and Frazier G., 「Treatment of hourglass pattern in low order finite element code」, International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 1978.