剛性定式化

スプリングの剛性は、それぞれ異なって定義された自由度で複数の方法で定義されます。

力とモーメント

線形剛性と減衰の挙動

最もシンプルな定式化は線形弾性スプリング剛性で、ここでは内力が相対変位に比例します。この場合、定数の剛性パラメータ $K_{i}$ およびオプションの減衰パラメータ $C_{i}$ のみが入力されます。

線形剛性の場合、力とモーメントは：

$F (δ) = K_{i} δ^{i}$
$M (θ) = K_{i} θ^{i}$

線形ダッシュポットの場合、力とモーメントは：

$F (δ) = C_{i} {\dot{δ}}^{i}$
$M (θ) = C_{i} {\dot{θ}}^{i}$

線形ダッシュポットおよびダッシュポットの場合、力とモーメントは：

$F (δ) = K_{i} δ^{i} + C_{i} {\dot{δ}}^{i}$
$M (θ) = K_{i} θ^{i} + C_{i} {\dot{θ}}^{i}$

非線形挙動

スプリングの力とモーメントは次のように計算されます：(1)

\begin{array}{l} F_{i} (δ^{i}) = f (\frac{δ^{i}}{A s c a l e_{i}}) [A_{i} + B_{i} \ln (\max (1, | \frac{{\dot{δ}}^{i}}{D_{i}} |)) + E_{i} g (\frac{{\dot{δ}}^{i}}{F_{i}})] \\ + C_{i} {\dot{δ}}^{i} + H s c a l e_{i} h (\frac{{\dot{δ}}^{i}}{F_{i}}) \end{array}

ここで、 $i$ は並進自由度： 1、2、3

(2)

\begin{array}{l} M_{i} (θ^{i}) = f (\frac{θ^{i}}{A s c a l e_{i}}) [A_{i} + B_{i} \ln (\max (1, | \frac{{\dot{θ}}^{i}}{D_{i}} |)) + E_{i} g (\frac{{\dot{θ}}^{i}}{F_{i}})] \\ + ​ C_{i} {\dot{θ}}^{i} + H s c a l e_{i} h (\frac{{\dot{θ}}^{i}}{F_{i}}) \end{array}

ここで、 $i$ は回転自由度： 4、5、6

力とモーメントの式内の変数は以下を表します：

$f (\frac{δ^{i}}{A s c a l e_{i}})$ スプリングの力ｖｓ右記の変位関数入力； fct_ID_1i

$f (\frac{θ^{i}}{A s c a l e_{i}})$ スプリングの力ｖｓ右記の回転関数入力； fct_ID_1i

$A_{i}, B_{i}, D_{i}, E_{i} and F_{i}$ スケーリング係数

\ln (\max (1, | \frac{{\dot{δ}}^{i}}{D_{i}} |))

速度の増大に伴いスプリング剛性をスケーリングする対数関数

$g (\frac{{\dot{δ}}^{i}}{F_{i}})$ 右記の線形入力の関数として剛性をスケーリング； fct_ID_2i

$g (\frac{{\dot{θ}}^{i}}{F_{i}})$ 右記の回転速度入力の関数として剛性をスケーリング； fct_ID_2i

この入力は、スプリング剛性の非線形ひずみ速度効果をモデル化するために使用できます。

$C_{i}$ 速度の関数としてスプリング剛性を増大させるために使用される線形減衰係数

$h (\frac{{\dot{δ}}^{i}}{F_{i}})$ または $h (\frac{{\dot{θ}}^{i}}{F_{i}})$ 右記としての線形減衰関数； fct_ID_4i

速度の関数としての線形または非線形減衰は、線形減衰係数またはユーザー定義の関数のいずれかを用いてスプリングの力に付与することも可能です。

関数 $g$ と $h$ は共に、スプリングの減衰挙動を表します。ただし、 $g$ 関数はスプリング剛性関数 $f$ をスケーリングしますが、 $h$ 関数は、スプリング剛性関数 $f$ に付与します。

時間ステップ

スプリングの時間ステップ：(3)

Δ t = \sqrt{\frac{M}{K}}

ダッシュポットの時間ステップ：(4)

Δ t = \frac{M}{2 C}

スプリングとダッシュポットの時間ステップ：(5)

Δ t = \frac{\sqrt{C^{2} + K \cdot M} - C}{K}

ここで、

$M$: 粒子の質量
$K$: 線形剛性または $\max [\frac{d F}{d δ}]$
$C$: 線形減衰または $\max [\frac{\partial g (\frac{d δ}{d t})}{\partial (\frac{d δ}{d t})}]$ （非線形減衰の場合）

非線形スプリングの場合、 $K$ が時間ステップ計算および一定剛性に用いられます。 $K$ がスプリングのプロパティで定義されていない場合、fct_ID_1iの最大傾き（ $\max [\frac{d F}{d δ}]$ ）が時間ステップの計算に自動的に用いられます。挙動は、減衰剛性 $C$ についても同じです。