RD-E： 0800 Hopkinsonバー

7010アルミニウム鋳物の高ひずみ速度引張り挙動がHopkinson圧力バーテクニック（応力波）を用いて検討されます。

高速衝撃の正確なモデル化を可能にするためには、高いひずみ速度の材料の正確なデータが必要になります。材料の高ひずみ速度の特性化は通常分割されたHopkinson圧力バーを用いてひずみ速度範囲100-10000 s^-1内で測定されます。Hopkinsonバーの1次元解析を用いて、試験体の単軸応力で変形し、試験体のバーの接合部分は全ての時間で平面を保ち、試験体の応力つり合いは経過時間用いて得られると仮定します。Radioss陽解法有限要素法コードがこれらの仮定の調査に用いられます。

使用されるオプションとキーワード

軸対称解析（/ANALY）、2次元ソリッド要素
高ひずみ速度、分割Hopkinson圧力バー（SHPB）
波動伝播、応力パルス
弾性モデル（/MAT/LAW1 (ELAST)）およびJohnson-Cook弾塑性モデル（/MAT/LAW2 (PLAS_JOHNS)）
境界条件（/BCS）
強制速度（/IMPVEL）

出力バーの下端の節点はZ方向に拘束されます。回転対象軸上の軸対称条件はX方向の並進とX軸周りの回転の拘束が必要になります。

飛翔体はスチールの円筒を用いてZ方向の強制速度でモデル化されます。必要なひずみ速度は2つの強制速度1.7 ms^-1と5.8 ms^-1で試験体のひずみ速度範囲80 s^-1と900 s^-1（低速と高速）を考慮するために与えられます。

真応力、真ひずみと真ひずみ速度は時刻歴から測定されます。

実験では、ひずみゲージが試験体に取り付けられます。シミュレーションでは、真ひずみは9040と6節点のZ方向相対変位（ $l_{0}$ = 3.83638 mm）から決められます。

真応力は、2つのデータソースから与えることができます。最初の方法論は、バー-試験体の力の1次元伝播の仮定に基づく、前に示された式を用いる方法です。出力応力波に伴う工学ひずみ $ε_{t}$ は出力バーの節点のZ方向変位から得られます。真塑性ひずみは時刻歴ファイルにセーブされた試験体の2次元ソリッド要素から取り出すことができます。真応力は、Z応力の2次元ソリッド6243、6244、6224、6235の平均値を用いて時刻歴から直接測定することもできます。断面オプションは2次元ソリッド要素で利用可能なオプションではないことに注意してください。

ひずみ速度は/TH/QUADに保存された真塑性ひずみまたは真ひずみ

ε_{true}

のいずれかより計算できます。

表 1. 解析で用いられた関係
	高速試験
真応力	$σ_{t r u e} (t) = \frac{S_{b a r} E_{b a r}}{S_{O b j e c t}} ε_{T} (t) \exp (ε_{p l} (t))$	/THに保存された2次元ソリッドからのZ方向応力の平均
真ひずみ	$ε_{t r u e} (t) = \ln (\frac{l_{i} (t)}{l_{0}}) l_{i} (t) = l_{0} + Δ l = l_{0} + (u_{9040} (t) - u_{6} (t))$
真ひずみ速度	$\dot{ε} = \frac{Δ ε_{p l} (t)}{Δ t}$	$\dot{ε} = \frac{Δ ε_{t r u e} (t)}{Δ t}$

入力ファイル

本例題で使用される入力ファイルは下記のとおり：

High_strain_rate: <install_directory>/hwsolvers/demos/radioss/example/08_Hopkinson_Bar/High_strain_rate/SHPB_H*
Low_strain_rate: <install_directory>/hwsolvers/demos/radioss/example/08_Hopkinson_Bar/Low_strain_rate/SHPB_L*

モデル概要

衝撃の間の材料挙動をモデル化し、予測するためには、非常に高いひずみ速度での応答を検討する必要があります。

分割Hopkinsonバーは、高ひずみ速度の実験を実行するための高価でない装置です。 ¹

装置は４つの長い圧力バーからなります。

ストライカーバー
インシデントバー
トランスミッションバー
ドロップバー

試験他はトランスミッションバーとインシデントバーの間に挟まれます。バーの中の波動は分散しないと仮定し、バーと試験体の間の接触上の力と変位は測定されたひずみから経験的に得られます。この例題では、7010アルミ鋳物の分割（Hopkinson 圧力バーでSHPB）で実験を通して得られる動的引張り挙動が数値シミュレーションと比較されます。2つのケースがひずみ速度80 s^-1（低速）と 900 s^-1（高速）でそれぞれ検討されます。高いひずみ速度では、経験的に応力の流れがひずみ速度の増加により30%以上に大きく増加し、したがって一般的にアルミ鋳物はひずみ速度依存性を示します。ここで与えられるひずみ速度に対しては、既存のJohnson-Cookモデルが応力の流れのひずみ速度の関数としての記述に用いられます。破壊は考慮されません。

分割Hopkinso圧力バーテクニックはアルミ鋳物の高い応力下での高ひずみ変形に対応します。図 3 は、Hopkinsonバーセットアップの図を示します。2つの同じ直径の円筒バーからなり、それぞれ、入力と出力バーと呼ばれます。

試験体材料は等方性弾塑性挙動を示し、Johnson-Cookモデル（/MAT/LAW2）を用いて再現できます。スチールバーとストライカーは弾性則（/MAT/LAW1）に従います。

以下の単位系が用いられます：mm, ms, g, N, MPa

形状の回転対称を考慮し、材料と運動条件で、軸対称モデルが用いられます（Starterファイルの/ANALYオプションでN_2D3D = 1を設定）。Yが半径方向で、Zが回転軸となります。

Johnson-Cookモデル

Johnson-Cookモデルは、以下の式を用いて応力を塑性ひずみとひずみ速度の関係式で記述します：

ここで、

$\dot{ε}$: ひずみ速度
${\dot{ε}}_{0}$: 参照ひずみ速度
$ε_{p}$: 塑性ひずみ（真ひずみ）
a: 降伏応力
b: 硬化パラメータ
n: 硬化指数
c: ひずみ速度係数

2つのオプション入力、ひずみ速度係数と参照ひずみ速度がそれぞれの材料の/MAT/LAW2で応力のひずみ速度効果を考慮するために定義する必要があり、これでひずみ速度が増加したときに応力が増加します。定数 a、b、およびnは応力-ひずみ曲線の形状を定義します。

CRAHVI, G4RD-CT-2000-00395, D.1.1.1, Material Tests – Tensile properties of Aluminum Alloys 7010T7651 and AU4G Over a Range of Strain Ratesにより、7010アルミニウム鋳物は以下の関係で記述できます：

$σ = (496 + 225 ε^{0.35})$: ひずみ速度80 s^-1未満
$σ = (496 + 225 ε^{0.35}) (1 + 0.16 \ln (\frac{\dot{ε}}{0.08}))$: ひずみ速度80 s^-1から3000 s^-1まで

試験体の材料特性は：

材料特性
ヤング率: 73000 $[MPa]$
ポアソン比: 0.33
密度: 0.0028 $[\frac{g}{m m^{3}}]$

バード飛翔体に用いられる材料はTYPE1（線形弾性）で以下の特性を持ちます：

材料特性
ヤング率: 210000 $[MPa]$
ポアソン比: 0.33
密度: 0.0078 $[\frac{g}{m m^{3}}]$

バーと飛翔体の幾何学的特性は：

バー
長さ: 4 m
直径: 12 mm

飛翔体
半径: 12 mm
重量: 170 g

高ひずみ速度試験方法

試験体はインシデントバーとトランスミッションバーの間にねじ留めされます。応力パルスが、スチールの飛翔体の入力バーの先端に取り付けられたスチールのディスクへの衝撃から入力バーを通して導入されます。衝撃が入力バーに沿って伝播する引張り波動を生成します。波の一部は反射し、一部は試験体の接合部分を通して伝達されます。応力パルスは試験体内部を通り抜けてトランスミッションバーに入ります。サンプル内部での反射波が試験の間の応力を均一化することを可能にします。出力または伝達される応力波に伴うひずみが出力または伝達バーのひずみゲージにより測定されます。試験体の測定長さに取り付けられたひずみゲージで実験の間の試験体の真ひずみと真塑性ひずみを直接測定します。伝達される弾性波が試験体接合部への直接の力の測定を、以下の関係式の方法によりもたらします：(1)

F (t) = S_{b a r} E_{b a r} ε_{T} (t)

ここで、

$E_{b a r}$: 出力バーの弾性係数
$ε_{T}$: 出力応力波でのひずみ
$S_{b a r}$: 出力バーの断面積

2つのバーが弾性を保ち、波動の消散が無視できる場合、応力パルスは試験体に作用するものと同じと仮定できます。

試験体内の公称応力波場動の解析により、伝達される波動を用いて決めることができます：(2)

σ_{e n g i n e e r i n g} (t) = \frac{F (t)}{S_{o b j e c t}} = \frac{S_{b a r} E_{b a r}}{S_{o b j e c t}} ε_{T} (t)

公称応力はインシデントに作用する反射波と伝達波での力の平均からも得られ、次の式で示されます：(3)

σ_{e n g i n e e r i n g} (t) = \frac{S_{b a r} E_{b a r}}{2 S_{o b j e c t}} [ε_{I} (t) + ε_{R} (t) + ε_{T} (t)]

ここで、

$ε_{I}$ および $ε_{R}$: 入力応力波に対するひずみ
$ε_{T}$: 出力応力波に対するひずみ

試験体の真応力は次の関係式で計算することができます（詳細については例題 11 - 引張試験をご参照ください）：(4)

σ_{t r u e} = σ_{e n g i n e e r i n g} \exp (ε_{t r u e})

真ひずみは以下で与えられます：(5)

\dot{ε} = \frac{Δ ε_{t r u e}}{Δ t}

真応力と真ひずみは破壊の点まで評価できます。

インターフェース1: $F_{1} = S_{b a r} (σ_{I} (t) + σ_{R} (t)) = S_{b a r} E_{b a r} (ε_{I} (t) + ε_{R} (t))$
インターフェース2: $F_{2} = S_{b a r} σ_{T} (t) = S_{b a r} E_{b a r} ε_{T} (t)$
試験体内のつり合い: $F_{1} = F_{2}; ε_{I} (t) + ε_{R} (t) = ε_{T} (t)$
試験体の公称応力: $σ_{o b j e c t} (t) = F_{1} / S_{o b j e c t} = F_{2} / S_{o b j e c t}$

モデリングの方法

メッシュは12054の2Dソリッド要素（QUAD）からなります。2Dソリッドの寸法は約2 mmです。

ひずみ速度フィルタリング

動的荷重のために、ひずみ速度には物理的ではない高い周波数の振動が生じます。このため、応力-ひずみ曲線にはノイズが現れます。滑らかな結果を得るためにひずみ速度のフィルタリングオプションで高周波振動を除去してこのような振動を減衰させることができます。この例では、ひずみ速度のフィルタリングのためにカットオフ周波数F_cut = 30 kHzが使用されました。各シミュレーションの妥当な値を決定するためには、優れた工学的判断が必要です。詳細については、例題 11 - 引張試験をご参照ください。

結果

この試験の目的は実験で観察される結果をJohnson-Cookモデルで得ることです。応力は低ひずみ速度試験に比べて約30%の増加が期待されます。

実験データ

実験結果は真引張り流れの応力の真ひずみとの比較においてひずみ速度80 s^-1と100 s^-1の間においてはほぼ等価であることを示しています。Johnson-Cookモデルでの参照ひずみ速度 $ε$ は0.08 ms^-1に設定されます。高いひずみ速度では、真の流れの応力はひずみ速度に対して大きく増加します。7010アルミ鋳物では高いひずみ速度（900 s^-1から 3000 s^-1）においては、静的な値に比較し、一般的に流れの応力が30%までの増加を示します。

結果は特定の真ひずみ0.02、0.05と0.10に対して与えられます。ひずみ速度の応力への影響は、図 9 ¹で見ることができます。

試験はひずみ速度900 s^-1で実施され、ひずみ0.25で流れの応力は850

[MPa]

に達しています。

表 2. 両方のひずみ速度を用いた特定のひずみにおける真応力（実験データ）
	ひずみ速度： 80 s^-1			ひずみ速度： 900 s^-1
真ひずみ	0.02	0.05	0.1	0.02	0.05	0.1	0.25
真応力（MPa）	550	600	610	625	775	800	850

Johnson-Cookモデル

図 10 は、応力の時間変化をバーに沿っての波動伝播との関係で示します。応力は入力バー、試験体と出力バーで評価されています。

応力-時間曲線は衝撃、反射、伝達の信号を示しています。

バーに沿っての波動速度

C

は以下の関係を用いて計算されます：(6)

C = \sqrt{\frac{E}{ρ}}

ここで、

$C$: 5189 ms^-1
$E$: ヤング率
$ρ$: バーの密度

要素の時間ステップは試験体のある最も小さい要素でコントロールされます。これは5x10^-5に設定されます。したがって、応力波は0.77 msで試験体に到達し、それぞれの時間ステップでバーに沿って0.26 mm進みます。明らかに、これは最小寸法の要素長さ（0.88 mm）よりも小さいです。

強制速度5.8 ms^-1で試験体に約900 s^-1のひずみ速度を生成し、ひずみ速度約80 s^-1では強制速度1.7 ms^-1で達します。シミュレーションはそれぞれの速度の値で実行されます。低速での検討は、出力バーの最上部で反射波が生成されるために高速の場合よりも時間に関して制限される点にご留意ください。

図 14 にひずみ速度の関数としての真応力と真ひずみの関係を示します。

高ひずみ速度（900/s）では、流れの応力が増加し低ひずみ速度（80/s）で得られた応力よりも約30%高いことが見られます。Johnson-Cookモデルを用いて、実験結果と比較して精度のよい結果が得られています。

両方の方法で決められた真応力を横に並べて示します。これで伝達される波動に基づいた解析を検証します。強制速度が5.8 ms^-1に等しい場合のモデルの典型的な曲線を下に示します（図 16）。

ひずみ速度の評価に用いたどちらのデータソースも同様の結果を与えています。

以下の結果が示されます：

スムージングのためのカットオフ周波数（100 kHz）の有り無しによる応力のひずみ速度効果：
ひずみ速度係数の影響（実験データとの比較）

これらの検討は高ひずみ速度のモデル（ $ε$ = 900 s^-1）で実行されています。

図 20 は、試験体のt=0.6 msでの応力分布をひずみ速度のフィルタリングのあり / なしで比較しています。

フィルタリングを使用し、より物理的な流れの応力が得られています。陽解法はエレメント-バイ-エレメントの手法で、時間的な振動の局所的な取り扱いがメッシュ内に空間的な振動を加えます。

¹ CRAHVI, G4RD-CT-2000-00395, D.1.1.1, Material Tests - Tensile properties of Aluminum Alloys 7010T7651 and AU4G Over a Range of Strain Rates.